Kriging 克里金法

克里金法采用最佳线性无偏估计（Best Linear Unbiased Estimation, BLUE），根据协方差函数对已知点函数值进行加权平均估计未知点函数值，是典型的统计学算法。根据假设条件不同，克里金法包括 简单克里金法（Simple Kriging）、普通克里金法（Ordinary Kriging, OK）、泛克里金法（Universal Kriging, UK）、协同克里金法（Co-Kriging, CK）、贝叶斯克里金法（Bayesian Kriging） 等。

克里金法所解决的问题是空间插值（Spatial Interpolation）问题，即：根据空间中 n 个观测点 $[(x_1,y_1),(x_2,y_2),…,(x_n,y_n)]$ 的属性观测值 $[z_1,z_2,…,z_n]$ （即标签；例如人口、经济、海拔等）估计空间中的未知点 $(x_0,y_0)$ 的属性 $z_0$ 值。

这里以地理空间插值问题为背景进行介绍，因此观测点信息给出了二维的平面坐标，实际上克里金法的输入完全可以拓展到更高的维度。平面坐标相当于插值算法的输入变量，这里的输入变量不必局限于地理坐标，在交通研究中克里金法的输入变量通常包括收费值、对某一交通管理措施的反应率（Response Rate）等变量。

空间插值的方法一般遵循地理学第一定律：地理空间上的所有值都是互相联系的，且距离近的值具有更强的联系。根据这一定律，可采用 反距离加权插值法、克里金法。

克里金法假设：空间任意一点 $(x,y)$ 处的空间属性 $z$ 可以用该点的属性期望 $c(x,y)$ 和随机误差 $R(x,y)$ 来表示，即 $z(x,y)=c(x,y)+R(x,y)$。不同的克里金插值法，采用了不同的公式计算期望和随机误差。其中，当区域属性期望 $c$ 相等且已知时，就形成了 简单克里金法；区域属性期望 $c$ 相等但大小未知时，形成了 普通克里金法；若空间属性值期望随空间位置变化具有某种趋势，是 泛克里金。除此之外研究者们还提出了神经网络克里金、贝叶斯克里金 等混合方法。总体来说，克里金插值法的估计目标是使估计值 $\hat{z}$ 与真实值 $z$ 的数学期望相同（即无偏估计），且二者差值的方差最小。

插值法通常假定插值空间是平稳随机场（Stationary Random Field）。这里的“平稳随机场”有两层含义：一是数学期望平稳，即各个空间点的属性期望值是一个常数，与位置无关；二是指任意两个空间点的属性值的协方差仅仅与两点之间的距离和方向有关。

在克里金法中，通常进一步假设平稳随机场是“各向同性”的，即任意两个空间点的属性值的协方差仅与两点之间的距离有关。

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