卡尔曼滤波基本模型

根据 卡尔曼滤波基本动态系统 建立的模型

缘由

[!note] 记录为什么有这个概念/想法/事实/观点，属于 why 的部分

说明

对于系统的每一个离散时间下的真实状态 $\pmb{X}k$，是由前一个离散时间下的真实状态 $\pmb{X}{k-1}$ 演化而来的，定义矩阵 $\pmb{F}_k, \pmb{H}_k, \pmb{Q}_k, \pmb{R}_k, \pmb{B}_k$，卡尔曼滤波 的基本模型如下：

其中：

• $\pmb{F}k$ 是作用在 $\pmb{X}{k-1}$ 上的状态变换模型（矩阵/向量）
• $\pmb{u}_k$ 是控制器向量，即除去系统自身变化外，外部对系统内变量造成的变化
• $\pmb{B}_k$ 是作用在控制器向量 $\pmb{u}_k$ 上的输入（控制模型），外部变化的强度
• $\pmb{W}_k$ 是过程噪声，并假设其符合均值为零，协方差 矩阵为 $\pmb{Q}_k$ ，服从 [[ 多元正态分布 ]]，$\pmb{W}_k \sim N(0, \pmb{Q}_k)$

在时刻 $k$，对真实状态 $\pmb{X}_k$ 的一个测量 $\pmb{Z}_k$ 满足：

其中：

• $\pmb{H}_k$ 是观测模型，把 [[ 真实状态空间 ]] [[ 映射 ]] 为 [[ 观测空间 ]]
• $\pmb{V}_k$ 是观测噪声，其均值为零，协方差 矩阵为 $\pmb{R}_k$ ，服从 [[ 正态分布 ]]，$\pmb{V}_k \sim N(0, \pmb{R}_k)$

初始状态及每一时刻的噪声 $(\pmb{X}_0, \pmb{W}_1, …, \pmb{W}_k, \pmb{V}_1, …, \pmb{V}_k)$ 都认为是 [[ 相互独立 ]] 的。

实例

[!note] 记录概念的应用实例，属于 how 的部分

类比

[!note] 记录与该概念类似的概念，属于 how 的部分

对比

[!note] 记录与该概念进行对比的概念，属于 how 的部分

效果

实际上，很多真实世界的 [[ 动态系统 ]] 都并不确切的符合这个模型；但是由于卡尔曼滤波器被设计在有噪声的情况下工作，一个近似的符合已经可以使这个滤波器非常有用了。也有一些 卡尔曼滤波器 的变种，例如 [[ 扩展卡尔曼滤波器 ]] 来对更复杂的动态系统进行更精确的估计。

备注

• 维基百科 - 卡尔曼滤波