Matrix 矩阵

最后修改于 2023-11-29

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由 $m \times n$ 个元素（ $m$ 行 $n$ 列）排列组成的矩形阵列。

矩阵乘法

两个矩阵相乘的前提条件为，矩阵 $A$ （ $m \times n$ ）的列数等于矩阵 $B$ （ $n \times p$ ）的行数。乘积得到新的矩阵维度为 $m \times p$ 。

(M \times N) (N \times P) = (M \times P)

矩阵 $A \times B$ ，新矩阵中元素 $(i, j)$ 的数值为，矩阵 $A$ 的第 $i$ 行与矩阵 $B$ 的第 $j$ 列的点积。

矩阵乘法不符合交换律，符合结合律和分配律。

向量可视为列矩阵或行矩阵。

行列互换

{(\begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 6 \end{matrix})}^{T} = (\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{matrix})

$n$ 阶单位矩阵，是一个 $n \times n$ 的方阵，即行数及列数相同的矩阵

单位矩阵为对角阵，即除对角线外，其余元素均为 0。

I_{3 \times 3} = (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix})

通过单位矩阵可定义矩阵的逆。

若一个矩阵与另一个矩阵相乘得到单位矩阵，则称两个矩阵互逆。

只有方阵（ $n \times n$ ）才可能存在逆矩阵。

若

A A^{- 1} = A^{- 1} A = I

则， $A$ 与 $A^{- 1}$ 互逆

(A B)^{- 1} = B^{- 1} A^{- 1}

Tasks

[[Vector 向量]]

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