向量运算
向量求和
几何 Geometrically：平行四边形法则，三角形法则
代数 Algebraically：坐标相加
向量乘法
点乘 Dot (Scalar) Product
点乘结果为数量
$\vec{a} \cdot \vec{b} = \lVert \vec{a} \rVert \cdot \lVert \vec{b} \rVert cos \theta$
$cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\lVert \vec{a} \rVert \cdot \lVert \vec{b} \rVert} = \hat{a} \cdot \hat{b}$
向量点乘符合交换律、分配律和结合律。
在笛卡尔坐标系下：
2D
$\vec{a} \cdot \vec{b} = \begin{pmatrix} x_a \ y_a\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_b \ y_b\end{pmatrix} = x_ax_b + y_ay_b$
3D
$\vec{a} \cdot \vec{b} = \begin{pmatrix} x_a \ y_a \ z_a\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_b \ y_b \ z_b\end{pmatrix} = x_ax_bx_c + y_ay_by_c$
作用：
- 找到两个向量间的夹角
- 找到一个向量在另一个向量上的投影
叉乘 Cross (Vector) Product
叉乘的结果是一个向量，是与两个原始向量正交的向量。
$\vec{a} \times \vec{b} = -\vec{b} \times \vec{a}$
$\lVert \vec{a} \times \vec{b} \rVert = \lVert \vec{a} \rVert \lVert \vec{b} \rVert sin\phi$
结果向量的方向由右手法则决定，四指沿被乘向量（算式中第一个向量）以小于 180 角的方向绕至叉乘向量（算式中第二个向量），此时拇指所指方向即为结果向量的方向。
向量叉乘不符合交换律，符合分配律和结合律。
向量叉乘其本身得到是与其自身正交的零向量。
在笛卡尔坐标系下：
$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{pmatrix} y_az_b - y_bz_a \ z_ax_b - x_az_b \ x_ay_b - y_ax_b \end{pmatrix}$
作用：
- 构建直角坐标系，通过右手法则构建的坐标系为右手坐标系，结果向量方向相反时为左手坐标系。$\vec{x} \times \vec{y} = + \vec{z}$
- 判定一个向量在另一个向量的左右，乘积为正向左，为负向右（逆时针向左，顺时针向右）。
- 判定一个点在一个多边形的内外。按顺序依次连接点与多边形的各个顶点，判断从被连接的顶点出发的两个向量的方位，重复直至完成所有顶点的判断，均在同侧时为内，反之为外。
正交坐标系
可用来进行向量分解
$\lVert \vec{u} \rVert = \lVert \vec{v} \rVert = \lVert \vec{w} \rVert = 1$
$\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot \vec{w} = \vec{u} \cdot \vec{w} = 0$
$\vec{w} = \vec{u} \times \vec{v}$ （右手坐标系）
$\vec{p} = (\vec{p} \cdot \vec{u})\vec{u}+(\vec{p} \cdot \vec{v})\vec{v}+(\vec{p} \cdot \vec{w})\vec{w}$
向量投影
$\vec{b_\perp}$ 是向量 $\vec{b}$ 在向量 $\vec{a}$ 上的投影，则：
- $\vec{b_\perp}$ 的方向与向量 $\vec{a}$ 相同。
- $\vec{b_\perp}=k \vec{a}$，$k=\lVert \vec{b_\perp} \rVert=\lVert \vec{b} \rVert cos \theta$
作用：
- 分解向量
- 评价两个向量方向的接近程度，[-1, 1]，-1 为完全相反，0 为垂直，1 为完全相同。
- 决定前向和后向。
